Definicja

Liniowość i monotoniczność

Pojęcia rozróżniane: zależność liniowa, zależność monotoniczna, forma funkcjonalna. Kategoria: założenia analizy.

Zależność liniowa oznacza, że oczekiwana zmiana wyniku jest opisana prostą, czyli stałym nachyleniem w analizowanym zakresie. Zależność monotoniczna wymaga jedynie zachowania kierunku: wraz ze wzrostem jednej zmiennej druga nie maleje albo nie rośnie. Relacja może więc być monotoniczna, lecz wyraźnie nieliniowa.

Znaczenie dla metod. Korelacja Pearsona opisuje siłę zależności liniowej, natomiast korelacja rang Spearmana odnosi się do monotoniczności. W regresji liniowość dotyczy postaci średniej odpowiedzi względem predyktorów po uwzględnieniu pozostałych składników modelu. Wykres surowych dwóch zmiennych nie zawsze wystarcza przy wielu predyktorach; pomocne są wykresy reszt i diagnostyka formy funkcjonalnej.

Częsty błąd. Uznanie wysokiej korelacji Spearmana za dowód liniowości albo korelacji Pearsona bliskiej zeru za dowód braku jakiejkolwiek zależności. Relacja w kształcie litery U może być silna, ale niemonotoniczna i mieć małą korelację liniową. Przekształcenia i składniki nieliniowe powinny wynikać z pytania, skali i diagnostyki, a nie z poszukiwania korzystnej wartości p.

Przykład syntetyczny. Dla x = 1, 2, 3, 4 wynik y = 1, 4, 9, 16 zawsze rośnie. Relacja jest monotoniczna, ale przyrost y na jednostkę x nie jest stały, więc prosta nie opisuje jej dokładnie. Wykres punktowy ujawnia krzywiznę, którą należy uwzględnić w modelu lub ograniczyć zakres interpretacji.

Jak to zapisać w pracy. Liniowość oceniono na wykresach zależności i wykresach reszt względem wartości dopasowanych. Ponieważ zależność była monotoniczna, lecz nieliniowa, nie interpretowano współczynnika Pearsona jako pełnego opisu relacji; zastosowaną postać funkcjonalną i jej uzasadnienie podano jawnie.

Wartości w przykładzie są syntetyczne i służą wyłącznie rozróżnieniu pojęć.

Powiązane hasła: Korelacja Pearsona, Korelacja Spearmana, Reszty modelu, Współliniowość

Jeśli wykres sugeruje relację nieliniową, Wyceń projekt.